Ответы к экзамену по Матану

1. Первообразная функции. Свойства.
2. Неопределенный интеграл и его основные свойства.
3. Таблица основных неопределенных интегралов. Доказательство.
4. Основные методы интегрирования: метод разложения, интегрирование заменой переменных, интегрирование по частям.
5. Алгебраические многочлены и их корни.
6. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие(2 леммы, теорема).
7. Интегрирование простейших рациональных дробей.
8. Рациональные функции двух переменных, свойства.
9. Интегрирование в элементарных функциях тригонометрических выражений. Универсальная тригонометрическая подстановка.
10. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей
11. Интегрирование биномиальных дифференциалов.
12. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Подстановки Эйлера. Определенный интеграл.
13. Интегральные суммы. Интегрируемость.
14. Необходимое условие интегрируемости функции с доказательством.
15. Верхние и нижние суммы Дарбу. Свойства.
16. Нижний и верхний интегралы Дарбу.
17. Критерий интегрируемости ограниченной функции.
18. Множества меры нуль. Критерий Лебега интегрируемости функции.
19. Классы интегрируемых функций: интегрируемость непрерывных функций, интегрируемость монотонных ограниченных функций.
20. Основные свойства определенного интеграла (21 свойство).
21. Интеграл с переменным верхним пределом. Свойства.
22. Формула Ньютона-Лейбница.
23. Основные методы интегрирования: метод разложения, замена переменной в интеграле Римана, интегрирование по частям. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.
25. Пример неспрямляемой кривой.
29. Понятие квадрируемой плоской фигуры. Критерий.
30. Площадь криволинейной трапеции.
31. Площадь криволинейного сектора.
32. Понятия кубируемости и объема.
33. Объем тела, полученного вращением вокруг осей ОХ, ОY.
34. Объем тела по площади поперечного сечения.
35. Площадь поверхности вращения вокруг оси ОХ.
36. Физические приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы.
37. Несобственный интеграл первого рода (НИ-1). Определения, примеры.
38. Критерий Коши сходимости НИ-1.
39. Замена переменных в НИ-1. Интегрирование по частям.
40. Понятия абсолютной и условной сходимостей НИ-1.
41. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося НИ-1.

42. Признак Вейерштрасса сходимости НИ-1.
43. Признаки Дирихле и Абеля сходимости НИ-1.
44. Несобственный интеграл второго рода (НИ-2). Определения, примеры.
45. Критерий Коши сходимости НИ-2.
46. Признак Вейерштрасса сходимости НИ-2. Числовые ряды.
47. Понятие числового ряда (ЧР). Частичная сумма ряда. Понятие сходящегося ЧР. Остаток ряда.
48. Необходимый признак сходимости ЧР.
49. Теорема о сходимости ряда, полученного отбрасывание конечного числа членов сходящегося ряда.
50. Критерий Коши сходимости ЧР.
52. Теорема Коши о рядах с монотонными элементами.
54. Признаки сравнения для рядов с положительными членами (3 признака сравнения, радикальный признак Коши, признак Даламбера, интегральный признак Коши).
55. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Примеры. Остаток ряда сходящегося знакочередующегося ряда.
56. Лемма о постоянной Эйлера.
57. Вычисление суммы ряда Лейбница.
58. Знакопеременные ряды. Понятия абсолютной и условной сходимостей ЧР.
61. Признаки Дирихле и Абеля сходимости ЧР с положительными членами. Функциональные последовательности и ряды (ФП, ФР).
62. Определения ФП и ФР. Поточечная сходимость ФП и ФР. Область сходимости.
64. Критерий Коши равномерной сходимости ФП.
65. Теорема о непрерывности предельной функции.
66. Теорема об интегрируемости предельной функции.
67. Теорема о дифференцируемости предельной функции.
68. Равномерная сходимость ФР. Примеры.
70. Достаточные признаки равномерной сходимости ФР (признак Вейерштрасса, признаки Дирихле и Абеля).
71. Свойства равномерно сходящихся ФР: почленный переход к пределу, непрерывность суммы ряда.
72. Почленное интегрирование ФР.
73. Почленное дифференцирование ФР. Степенные ряды.
74. Понятие степенного ряда. Радиус сходимости степенного ряда.
75. Теорема Абеля.
76. Формула Коши-Адамара вычисления радиуса сходимости степенного ряда.
78. Теорема о равномерной сходимости степенного ряда на отрезке.
79. Основные свойства степенного ряда (непрерывность суммы, почленное интегрирование и дифференцирование).
80. Суммирование степенных рядов.
81. Разложение функций в степенные ряды.
82. Ряд Тейлора функции. Критерий сходимости ряда Тейлора функции f к функции f.
83. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора.
84. Формула Валлиса.
85. Формула Стирлинга.